[krimbow]

العدد أعني زوج الزوج، ولهذا العدد خواص أخر ذكرها نيقوماخس في كتابه بشرح طويل ونحن نذكر منها طرفاً قال:" إن هذا العدد إذا رتب على نظمه الطبيعي، وهوواحد، اثنان، أربعة، ثمانية، ستة عشر، اثنان وثلاثون، أربعة وستون، وعلى هذا القياس بالغاً ما بلغ، فإن من خاصيته إن من ضرب الطرفين أحدهما في آخر يكون مساوياً لضرب الواسطة في نفسها، إن كان له واسطة واحدة، وإن كانت له واسطتان فمثل ضرب إحداهما في الأخرى، مثال ذلك أربعة وستون فإنه الطرف الآخر والواحد الطرف الأول، وله واسطة واحدة، هي ثمانية، فأقول:" إن ضرب الواحد في أربعة وستين، أوالاثنين وثلاثين، أوالأربعة في ستة عشر، مساولضرب ثمانية في نفسها وهذه صورتها: أ ب د ح يو لب سب 1 2 4 8 16 32 64 وإن زيدت فيه رتبة أخرى حتى يصير له واسطتان فأقول: إن ضرب الطرفين أحدهما في الآخر، يكون مساوياً لضرب الواسطتين إحداهما في الأخرى، مثال ذلك مئة وثمانية وعشرون إذا ضرب في واحد، وأربع وستون في اثنين، أواثنان وثلاثون في أربعة يكون مساءياً لضرب ستة عشر في ثمانية وهذه صورتها: ب د ح يو لب سد قكح 2 4 8 16 32 64 128 ولهذا العدد خاصية أخرى أنه إذا جمع من واحد إلى حيث ما بلغ يكون أقل من ذلك العدد الذي انتهى إليه بواحد، مثال ذلك إذا أخذ واحد واثنان وأربعة يكون جملتها أقل من ثمانية بواحد، وإن زيدت الثمانية عليها، يكون الجملة أقل من ستة عشر بواحد، وإن زيدت الستة عشر عليها يكون الجملة أقل من اثنين وثلاثين بواحد، وعلى هذا القياس توجد مراتب هذا العدد، بالغاً ما بلغ، وهذه صورتها: أ ب د ح يو لب سد قكح رنو 1 2 4 8 16 32 64 128 256 وأما زوج الفرد فهو كل عدد ينقسم بنصفين مرة واحدة، ولا ينتهي في القسمة إلى الواحد، مثل ستة، عشرة، وأربعة عشر، وثمانية عشر، واثنين وعشرين، وستة وعشرين، فإن كل واحد من هذه وأمثالها من العدد ينقسم مرة واحدة ولا ينتهي إلى الواحد؛ ونشوء هذا العدد من ضرب كل عدد فرد في اثنين وهذه صورتها: و ي ي دي جك بك ول لو لج مب مو كل واحد من هذه الأعداد نصف لما فوقه من العدد، وأما زوج الزوج والفرد فهو كل عدد ينقسم بنصفين أكثر من مرة واحدة، ولا ينتهي في القسمة إلى الواحد، مثل اثني عشر، وعشرين، وأربعة وعشرين، وثمانية وعشرين، وأمثالها في الأعداد، وهذه صورتها: يب كك دك حل وم دن بس سح 12 20 24 28 36 44 52 60 68 ونشوء هذا العدد من ضرب زوج الفرد في اثنين مرة أومراراً كثيرة، ولها خواص تركنا ذكرها مخافة التطويل.
وأما العدد الفرد فيتنوع قسمين: فرد أول وفرد مركب، والفرد المركب نوعان مشترك ومتباين. تفصيل ذلك: أما الفرد الأول فهو كل عدد لا يعده غير الواحد عدد آخر مثل ثلاثة، خمسة، سبعة، أحد عشر، ثلاثة عشر، سبعة عشر، تسعة عشر، ثلاثة وعشرين، وأشباه ذلك من العدد. وخاصية هذا العدد أنه ليس له جزء سوى المسمى له، وذلك أن الثلاثة ليس لها إلا الثلث، والخمسة ليس لها إلا الخمس، وكذلك السبعة ليس لها إلا السبع، وهكذا الأحد عشر والثلاثة عشر والسبعة عشر. وبالجملة جميع الأعداد الصم لا يعدها إلا الواحد، فإن اسم جزئها مشتق منها.
وأما الفرد المركب فهو كل عدد يعده غير الواحد عدد آخر مثل تسعة، وخمسة وعشرين، وتسعة وأربعين، وواحد وثمانين، وأمثالها من العدد وهذه صورتها: طلهمطفاقكاقسط وأما الفرد المشترك فهو كل عددين يعدهما غير الواحد عدد آخر مثل تسعة، وخمسة عشر، وواحد وعشرين، فإن الثلاثة تعدها كلها، فهذه الأعداد وأمثالها تسمى مشتركة في العدد الذي يعدها وهذه صورتها: طيهكاكهله وأما الأعداد المتباينة فهي كل عددين يعدهما عددان آخران غير الواحد، ولكن الذي يعد أحدهما لا يعد الآخر مثل تسعة، وخمسة وعشرين، فإن الثلاثة تعد التسعة، ولا تعد الخمسة والعشرين. والخمسة تعد الخمسة والعشرين ولا تعد التسعة، فهذه الأعداد وأمثالها يقال لها المتباينة.