[krimbow]

فصل في خواص العدد

ثم أعلم أن ما من عدد إلا وله خاصية أوعدة خواص، ومعنى الخاصية أنها الصفة المخصوصة للموصوف الذي لا يشركه فيها غيره. فخاصية الواحد أنه أصل العدد ومنشأه كما بينا قبل، وهويعد العدد كله: الأزواج والأفراد جميعاً. ومن خاصية الاثنين أنه أول العدد مطلقاً، وهويعد نصف العدد: الأزواج دون الأفراد. ومن خاصية الثلاثة أنها أول عدد الأفراد وهي تعد ثلث الأعداد تارة الأفراد وتارة الأزواج. ومن خاصية الأربعة أنها أول عدد مجذور. ومن خاصية الخمسة أنها أول عدد دائر ويقال كري. ومن خاصية الستة أنها أول عدد تام. ومن خاصية السبعة أنها أول عدد كامل. ومن خاصية الثمانية أنها أول عدد مكعب. ومن خاصية التسعة أنها أول عدد فرد مجذور، وأنها آخر مرتبة الآحاد. ومن خاصية العشرة أنها أول مرتبة العشرات. ومن خاصية الأحد عشر أنها أول عدد أصم. ومن خاصية الاثني عشر أنها أول عدد زائد. وبالجملة إن من خاصية كل عدد أنه نصف حاشيتيه مجموعتين، وإذا جمعت حاشيتاه تكونان مثله مرتين، ومثال ذلك خمسة فإن إحدى حاشيتيها أربعة والأخرى ستة، ومجموعهما عشرة، وخمسة نصفها، وعلى هذا القياس يوجد سائر الأعداد، إذا اعتبر، وهذه صورتها:1 2 3 4- 5- 6 7 8 9 وأما الواحد فليس له إلا حاشية واحدة وهي الاثنان، والواحد نصفها، وهي مثله مرتين. وأما قولنا: إن الواحد أصل العدد ومنشأه فهو أن الواحد إذا رفعته من الوجود ارتفع العدد بارتفاعه، وإذا رفعت العدد من الوجود، لم يرتفع الواحد. وأما قولنا: إن الاثنين أول العدد مطلقاً فهو أن العدد كثرة الآحاد، وأول الكثرة اثنان. وأما قولنا: إن الثلاثة أول الأفراد فهي كذلك، لأن الاثنين أول العدد وهوالزوج، ويليه الثلاثة وهي فرد. وأما قولنا: إنها تعد ثلث العدد تارة الأفراد وتارة الأزواج، فلأنها تتخطى العددين، وتعد الثالث منهما، وذلك الثالث يكون تارة زوجاً وتارة فرداً. وأما قولنا إن الأربعة أول عدد مجذور، فلأنها من ضرب الاثنين نفسه، وكل عدد إذا ضرب في نفسه يصير جذراً، والمجتمع من ذلك مجذوراً. وأما ما قيل من أن الخمسة أول عدد دائر فمعناه أنها إذا ضربت في نفسها رجعت إلى ذاتها؛ وإن ضرب ذلك العدد المجتمع من ضربها في نفسها، رجع إلى ذاته أيضاً، وهكذا دائماً: مثال ذلك خمسة في خمسة: خمسة وعشرون؛ وإذا ضرب خمسة وعشرون في مثله، صار ستمائة وخمسة وعشرون؛ وإذا ضرب هذا العدد أيضاً في نفسه خرج ثلثمائة ألف وتسعون ألفاً وستمائة وخمسة وعشرون؛ وإن ضرب هذا العدد في نفسه خرج عدد آخر وخمسة وعشرون. ألا ترى أن الخمسة كيف تحفظ نفسها وما يتولد منها دائماً، بالغاً ما بلغ، وهذه صورتها:5 - 25 - 625 - 390625 وأما السنة فإن فيها مشابهة للخمسة في هذا المعنى، لكنها ليست ملازمة كلزوم الخمسة ودوامها" 6 36 1296" ستة في ستة: ستة وثلاثون، فالسنة راجعة إلى ذاتها، وظهر ثلاثون؛ وإذا ضربت ستة وثلاثون في نفسها، خرج ألف ومئتان وستة وتسعون، فظهرت الستة، ولم يظهر الثلاثون. فقد بان أن الستة تحفظ نفسها، ولا تحفظ ما يتولد منها؛ وأما الخمسة فإنها تحفظ نفسها، وما يتولد منها دائماً أبداً. وأما ما قيل من خاصية الستة، إنها أول عدد تام، فمعناه أن كل عدد إذا جمعت أجزاؤه فكانت مثله سواء سمي ذلك العدد عدداً تاماً، فالستة أولها، وذلك أن لها نصفاً وهوثلاثة، وثلثاً وهواثنان، وسدساً وهوواحد، فإذا جمعت هذه الأجزاء كانت ستة سواءً. وليست هذه الخاصية لعدد قبلها، ولكن لما بعدها لثمانية وعشرين، ولأربع مائة وستة وتسعين، وثمانية آلاف ومائة وثمانية وعشرين، وهذه صورتها: 6 28 496 8128.
وأما ما قيل إن السبعة أول عدد كامل فمعناه أن السبعة قد جمعت معاني العدد كلها، وذلك أن العدد كله أزواج وأفراد، والأزواج منها أول وثان، فالاثنان أول الأزواج، والأربعة زوج ثان، والأفراد منها أول وثان، والثلاثة أول الأفراد، والخمسة فرد ثان. فإذا جمعت فرداً أولاً إلى زوج ثان، أوزوجاً أولاً إلى فرد ثان، كانت منها سبعة. مثال ذلك أنك إذا جمعت الاثنين الذي هو أول الأزواج إلى الخمسة الذي هوفرد ثان كان منهما سبعة، وكذلك إذا جمعت الثلاثة التي هي فرد أول إلى الأربعة التي هي زوج ثان كانت منهما سبعة، وكذلك إذا أخذ الواحد الذي هوأصل العدد مع الستة التي هي عدد تام يكون منهما السبعة التي هي عدد كامل، وهذه صورتها: 1 2 3 4 5 6 7. وهذه الخاصية لا توجد لعدد قبل السبعة، ولها خواص أخر سنذكرها عند ذكرنا أن الموجودات بحسب طبيعة العدد.
وأما ما قيل أن الثمانية أول عدد مكعب، فمعناه أن كل عدد إذا ضرب في نفسه سمي جذراً، والمجتمع منهما مجذوراً كما بينا من قبل. وإذا ضرب المجذور في جذره سمي المجتمع من ذلك مكعباً، وذلك أن الاثنين أول العدد، فإذا ضرب في نفسه كان المجتمع منه أربعة، وهي أول عدد مجذور، ثم ضرب المجذور في جذره الذي هواثنان، فخرج من ذلك ثمانية، فالثمانية أول عدد مكعب وأما ما قيل إنها أول عدد مجسم، فلأن الجسم لا يكون إلا من سطوح متراكمة، والسطح لا يكون إلا من خطوط متجاورة؛ والخط لا يكون إلا من نقط منتظمة كما بينا في رسالة" الهندسة". فأقل خط من جزأين وأضيق سطح من خطين، وأصغر جسم من سطحين، فينتج من هذه المقدمات أن أصغر جسم من ثمانية أجزاء أحدها الخط وهوجزآن؛ فإذا صرب الخط في نفسه كان منه السطح، وهوأربعة أجزاء؛ وإذا ضرب السطح في أحد طوليه كان منه العمق، فيصير جملة ذلك ثمانية أجزاء، طول اثنين في عرض اثنين في عمق اثنين.
وأما ما قيل إن التسعة أول عدد فرد مجذور، فلأن الثلاثة في الثلاثة تسعة، وليس من السبعة والخمسة والثلاثة شيء مجذور.
وأما ما قيل إن العشرة أول مرتبة العشرات فهو بين، كما إن الواحد أول مرتبة الآحاد، وهذا بين ليس يحتاج إلى شرح، ولها خاصية أخرى وهي تشبه خاصية الواحد، وذلك أنه ليس لها من جنسها إلا طرف واحد وهوالعشرون، وهي نصفها كما بينا للواحد أنه نصف الاثنين.
وأما ما قيل إن الأحد عشر أول عدد أصم، فلأنه ليس له جزء ينطبق به ولكن يقال واحد من أحد عشر واثنان منه. وكل عدد هذا وصفه يسمى أصم مثل ثلاثة عشر وسبعة عشر وما شاكل ذلك وهذه صورتها: يا يج يز يط كج كط لا لز ما مج 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 مز نج نط سا سز عا عج عط فج فط صا 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 91 وأما ما قيل إن الاثني عشر أول عدد زائد، فلأن كل عدد إذا جمعت أجزاؤه، وكانت أكثر منه سمي عدداً زائداً، والاثنا عشر أولها، وذلك أن لها نصفاً، وهوستة، ولها ثلث وهوأربعة، وربع وهوثلاثة، وسدس وهواثنان، ونصف وهوسدس وهوواحد. وإذا جمعت هذه الأجزاء، كانت ستة عشر وهي أكثر من الاثني عشر بزيادة أربعة، وهذه صورتها: 12 نصف 6 ثلث 4 ربع 3 سدس 2 نصف السدس 1.
وبالجملة، ما من عدد صحيح، إلا وله خاصية تختص به دون غيره، ونحن تركنا ذكرها كراهية للتطويل.
وأعلم يا أخي- أيدك الله وإيانا بروح منه- أن العدد ينقسم قسمين: صحيح وكسور كما بينا قبل، فالصحيح ينقسم قسمين: أزواجاً وأفراداً، فالزوج هوكل عدد ينقسم بنصفين صحيحين، والفرد كل عدد يزيد على الزوج واحداً، أوينقص عن الزوج بواحد. فأما نشوء عدد الزوج، فيبتدئ من الاثنين بالتكرير دائماً على ما يرى: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 بدوحييبيديويحك وأما نشوء الأفراد فيبتدئ من الواحد، إذا أضيف إليه اثنان، وأضيف إلى ذلك اثنان دائماً بالغاً ما بلغ: 3 5 7 9 11 13 15 17 19 جهزطيايجيهيزيط والزوج ينقسم على ثلاثة أنواع: زوج الزوج، وزوج الفرد، وزوج الزوج والفرد. فزوج الزوج هوكل عدد ينقسم بنصفين صحيحين متساويين، ونصفه بنصفين دائماً، إلى أن تنتهي القسمة إلى الواحد. مثال ذلك أربعة وستون، فإنه زوج الزوج، وذلك أن نصفه اثنان وثلاثون، ونصفه ستة عشر، ونصفه ثمانية، ونصفه أربعة، ونصفه اثنان، ونصفه واحد. ونشوء هذا العدد يبتدئ من الاثنين، إذا ضرب في الاثنين ثم ضرب المجموع في الاثنين، وما يجتمع من ذلك في الاثنين، ثم ضرب المجموع في الاثنين دائماً بلا نهاية.
ومن أراد أن يتبين هذا مستقصى، فليضعف بيوت الشطرنج، فإنه لا يخرج إلا من هذا

(يتبع)